Einleitung    -    Introduction

Das Sonnensystem
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Es gibt Bäume auf der grünen Wiese und es gibt Bäume in der Welt der Ideen.

Letztere sind abstrakte Objekte und äußerst praktisch zur Konstruktion
bestimmter numerischer Verfahren zur Berechnung u.a. von Planeten- oder
Satellitenbahnen.
Der Weg eines Raumfahrzeuges, Satelliten, Mondes, Planeten oder Kometen
durch das gemeinsame Schwerefeld der Sonne und aller anderen Beteiligten
wird durch eine zeitabhängige Bahnkurve Y = Y(t) mit drei Komponenten
beschrieben. Die Bahnkurve gibt zu jedem Zeitpunkt t0 die genauen
Ortskoordinaten    Y(t0)   =    [ y1(t0),   y2(t0),    y3(t0) ]    an.
Die Bahnkurve Y genügt einer Differentialgleichung (DGL) der Form:
Y''   =   F ( Y ) .
Hierbei handelt es sich i.a. um ein System von Differentialgleichungen.
Die populärere Form y" = f(x,y) kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit
in die Form Y" = F(Y) gebracht werden.
Die Bahnkurve Y wird auch Lösung der Differentialgleichung genannt.

Wenn die Anfangsbedingungen (AB) Y0 = Y(t0) und Y'0 = Y'(t0) gegeben
sind, so existiert stets genau eine Lösung Y, wenn die Funktion F gewisse
Bedingungen erfüllt. Diese Aussage trägt den Namen "Existenz- und
Eindeutigkeitssatz". Die DGL zusammen mit den AB nennt man
Anfangswert-Problem:     Y'' = F(Y),    Y0 = Y(t0),    Y'0 = Y'(t0)

In der Newtonschen Himmelsmechanik erfüllt die Funktion F
immer die Bedingungen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes, so daß
es hier für das Anfangswert-Problem immer genau eine Lösung Y gibt.
Wenn mehr als zwei Himmelskörper beteiligt sind, so kann man die
Lösung nicht mehr als explizite Formel angeben.
Daran haben sich die berühmtesten Mathematiker des 18ten und 19ten
Jahrhunderts (Euler, Clairaut, d'Alembert, Lagrange, Laplace, Poincaré)
die Zähne ausgebissen, was in die Geschichte unter dem Stichwort
"Dreikörperproblem" eingegangen ist .

Wir sind auf numerische Verfahren ("Näherungsverfahren") angewiesen.
Für die exakte Lösung an diskreten Zeitpunkten: Y(t1), Y(t2), Y(t3), ...
ermitteln numerische Verfahren Näherungswerte: Y1, Y2, Y3, ...
Entgegen eines weit verbreiteten Mißverständnisses sind die
Näherungsverfahren nicht etwa ungenau. Im Gegenteil, die Zahlen
können beliebig genau berechnet werden, wenn man entsprechend
längere Rechenzeiten in Kauf nimmt.

Die Näherungswerte können wir auf verschiedene Weise berechnen.
Eine Möglichkeit besteht darin, Schritt für Schritt vorzugehen:
Für den ersten Schritt seien die Anfangswerte Y0 = Y(t0) und Y'0 = Y'(t0)
gegeben. Von dort aus berechnen wir für den späteren Zeitpunkt t1 = t0 + h
die Näherungswerte Y1, Y'1 für die unbekannten exakten Werte Y(t1), Y'(t1)
mit einem Näherungsverfahren. Darauf folgt der zweite Schritt usw.
Aus Büchern oder sonstigen Veröffentlichungen können wir ein
wohlbekanntes Verfahren wählen, das irgendwann einmal konstruiert
worden ist und sich für Bahnberechnungen bewährt hat.
Alle Verfahren, welche Schritt für Schritt vorgehen, werden
Einzelschrittverfahren genannt. Es gibt eine umfangreiche Klasse
davon, deren bekanntesten Vertreter die sogenannten
Runge-Kutta-Verfahren sind.
Für die DGL y" = f(x,y) gibt es spezielle Runge-Kutta-Verfahren,
welche "Runge-Kutta-Nyström-Verfahren" heißen.

Hat jemand solch ein Verfahren neu konstruiert, so wird man es zunächst
hinsichtlich Genauigkeit und benötigter Rechenzeit testen.
Wenn es alle bisher bekannten Verfahren in den Schatten stellt, so kann
man es in einer mathematischen Fachzeitschrift veröffentlichen.
Dann können die Astronomen und Raumfahrtingenieure diese Verfahren
in ein Computerprogramm umsetzen und ihre Bahnberechnungen machen.
Allerdings steht heute, am Beginn des 21ten Jahrhunderts, genug
rohe Computerkraft zur Verfügung, so daß die altbekannten und
und bewährten Verfahren in vielen Fällen ausreichend sein dürften.
Trotzdem sind sich die Autoren neuerer Veröffentlichungen darin
einig, daß sich die Entwicklung von Verfahren sehr hoher Genauigkeit
lohnt, denn deren Rechenaufwand ist bei hohen Genauigkeitsanforderungen
erheblich geringer. Einige Beispiele und Tests zeigen, dass Verfahren zu geringer
Genauigkeit auch trotz reichlich vorhandener roher Computerkraft
nicht zu gebrauchen sind. Diese Verfahren können in diesen Beispielen
hohe Genauigkeiten nicht ereichen, auch nicht durch Verkleinerung
der Schrittweite, denn dies bedeutet erhöhter Rechenaufwand,
wodurch sich verstärkt Rundungsfehler einschleichen.
Hohe Genauigkeiten sind in den letzten Jahren etwa zur Berechnung
von Satellitenorbits (z.B. GPS) erforderlich.

Jedes Verfahren hat eine Geschichte und einen oder mehrere Urheber.
Die Urheber sind es, die mit den Bäumen konfrontiert werden.
Diese müssen zur Konstruktion z.B. eines Runge-Kutta-Verfahrens
höhere Ableitungen von F ( Y(t) ) nach der Zeit t bilden.
Die Kettenregel erzeugt Differentialausdrücke, welche äußerst
komplizierte Ausmaße annehmen.
Jedem Differentialausdruck kann ein Baum zugeordnet werden.
Die Zuordnung   Differentialausdruck <=> Baum ist eine
1-1 Korrespondenz.
Der Baum ersetzt den Formelausdruck und offenbart die Struktur.




Die Urheber der Baum-Idee
(Ein Nachtrag - 26.1.2005)

Schon im Jahre 1857 soll Arthur Cayley die Idee "Differentialausdruck<=>Baum" unter dem Titel "On the theory of the analytical forms called trees" veröffentlicht haben [s.: Runge-Kutta methods and renormalization (pdf) ].

Als geistiger Vater aller Theorien über Runge- Kutta- Verfahren gilt zu Recht der Neuseeländer John Butcher. In seinem 1987 erschienenen Buch "The numerical analysis of ordinary differential equations: Runge-Kutta and general linear methods" hat er u.a. seine in den 1960er Jahren entwickelte Baumtheorie dargestellt. Das Bild rechts zeigt den Buchdeckel, den zwei eindrucksvolle Bäume mit Butcher-Ästen zieren.
Runge-Kutta-Baum-Graphen finden sich inzwischen in Diplomarbeiten, Doktorarbeiten, Fachzeitschriften und in Leinwandprojektionen bei wissenschaftlichen Vorträgen.
Die scientific community weiß Butchers Werk zu würdigen:
"We regard Butcher's work on the classification of numerical integration methods as an impressive example that concrete problem-oriented work can lead to far-reaching conceptual results."
[Alain Connes in "Lessons from Quantum Field Theory" (pdf),
zitiert in: "Trees, renormalisation and differential equations" (pdf)

und in: Theory and Practice ; Pride and Precudice (pdf)]


Speziell für die Runge-Kutta-Nyström-Verfahren zur DGL y" = f(x,y) haben Hairer und Wanner im Jahre 1976 auf nur 18 Seiten eine komplette Baumtheorie veröffentlicht [-2]. Darin wurzeln die Bäume dieser Webseiten.

 


XML
(Ein Nachtrag - 17.1.2010)
Die Bäume haben die Gestalt von XML angenommen und inzwischen den gesamten Software-Markt unterwandert.


© 26. Januar 2001 (Upd. 17. Januar 2010) by Josef Gräf, Einleitung